Pyetje dhe Diskutim mbi Inversin e Transformimit Laplace - 1

Kërkoni atë \( h(t) \) nga \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

Diskutim:

Duhet të bëhet transformimi i anasjelltë i Laplasit. Më poshtë janë hapat që mund të ndiqni për ta marrë atë \( h(t) \) nga funksioni i transferimit \( H(s) \):

Hapi 1: Faktoroni emëruesin e \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

Hapi 2: Shndërroni thyesën në një formë më të thjeshtë të thyesës së pjesshme në mënyrë që të jetë e lehtë të përcaktohet anasjellta

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Hapi 3: Përcaktimi i Koeficientëve

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Duke krahasuar koeficientët, marrim:

• \(1 = A + B\)
• \(0 = 4A + 2B + C\)
• \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

Nga \(1 = A + B\), marrim \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

Nga \(0 = 4A + 2B + C\), marrim \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

Hapi 4: Thyesat e pjesshme

Zëvendësimi \(A = 0\), \(B = 1\), Dhe \(C = -2\) në \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

Hapi 5: Anasjelltas Laplace Transformimi

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

Kështu që:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( Grafiku: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)

 [00220240602]