Pyetje dhe Diskutim mbi Inversin e Transformimit Laplace - 1

Kërkoni atë $h(t)$ nga $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

Diskutim:

Duhet të bëhet transformimi i anasjelltë i Laplasit. Më poshtë janë hapat që mund të ndiqni për ta marrë atë $h(t)$ nga funksioni i transferimit $H(s)$:

Hapi 1: Faktoroni emëruesin e $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

Hapi 2: Shndërroni thyesën në një formë më të thjeshtë të thyesës së pjesshme në mënyrë që të jetë e lehtë të përcaktohet anasjellta

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Hapi 3: Përcaktimi i Koeficientëve

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Duke krahasuar koeficientët, marrim:

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

Nga $1=A+B$, marrim $1=0+B\Rightarrow B=1$

Nga $0=4A+2B+C$, marrim $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

Hapi 4: Thyesat e pjesshme

Zëvendësimi $A=0$, $B=1$, Dhe $C=-2$ në $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

Hapi 5: Anasjelltas Laplace Transformimi

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

Kështu që:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$Grafiku:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [00220240602]